Применение распределения Парето в теории катастроф

При внимательном анализе статистических данных по крупнейшим катастрофам выясняется, что они проявляют весьма необычные особенности, плохо укладывающиеся в привычные представления. Так, при Тянь-Шанском землетрясении 28.07.1976 г. в Китае погибло (по разным источникам) от 240 до 650 тыс. чел., что в десятки тысяч раз превосходит число погибших при обычном, "рядовом" разрушительном землетрясении.

Эта же закономерность наблюдается для наводнений. При наводнении 1931 г. на реке Янцзы в Китае погибло около 1,3 млн чел. Наводнение 1970 г. в Бангладеш вызвало гибель более 500 тыс. чел. Гигантские экстраординарные значения наблюдаются и для стоимостных характеристик ущерба, что типично для наиболее экономически развитых стран. При этом перечисленные катастрофы (происшедшие в нашем столетии), по-видимому, не являются максимально возможными. Во всяком случае, летописные источники и древнейшие памятники человечества описывают еще более разрушительные катаклизмы.

Таким образом, в ряду ущербов от катастроф изредка встречаются суперэкстремальные значения, несоизмеримые по величине со значениями для подавляющей части событий. Ущерб от этих суперэкстремальных событий сравним с суммарным ущербом от всех катастроф за тот же период времени.

Рисунок 1.4 - Кумулятивная гистограмма распределения 30-ти природных катастроф за 1970-1995 гг. с наибольшим количеством жертв, подобранная кривая Парето с

На рисунке 1.4 приведена накопленная гистограмма хвоста выборочного распределения для 30 наихудших, в смысле количества человеческих жертв, природных катастроф (землетрясения, ураганы, наводнения) за 1970-1995 гг. Здесь N (xi > x) - количество событий с числом жертв xi, большим заданного аргумента x. На рисунке 1.3 изображена кривая Парето с , построенная по данным о катастрофах, по которой видно, что в логарифмическом масштабе хвост распределения хорошо приближается к прямой с угловым коэффициентом около - 0,7. Таким образом, количество событий с числом жертв, превышающим x, убывает очень медленно при x ® ¥. И если при анализе "привычных" статистических зависимостей мы обыкновенно пренебрегаем возможностью очень крупных событий, лежащих на быстро убывающем "хвосте" распределения, то здесь мы этого сделать не можем. Более того, по причинам, которые будут указаны далее, можно рассматривать только "хвост", отвлекаясь от поведения распределения при малых x. Подобные распределения называются распределениями с тяжелыми хвостами. В литературе можно найти различные трактовки этого термина, суть их всех состоит в следующем: распределение с тяжелым хвостом - это распределение, хвост которого нельзя "отрезать", т.е. нельзя пренебречь крупными, но редкими событиями. Основная проблема, связанная с такими распределениями, состоит в том, что моменты достаточно высокого порядка у них расходятся. Как было показано выше, для распределения Парето с , бесконечно уже математическое ожидание. Очевидно, что на расходимость моментов влияет только тяжелый хвост распределения, "перевешивающий голову", описывающую вероятность наиболее частых, но небольших событий. Вид "головы" при этом оказывается не очень существенным, а решающую роль играет только асимптотика хвоста.