Кривая Парето

Рассмотрим ближе приведенные примеры распределения доходов. Упрощенное уравнение кривой Парето (1.2) мы можем представить в логарифмах:

. (1.3)

Тогда, графическое изображение такой кривой в двойной логарифмической шкале представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом, равным (рисунок 1.2). Уравнение этой кривой, подобранной к данному ряду методом наименьших квадратов, имеет вид , или в нелогарифмической форме .

Рисунок 1.2 - Кривая Парето в двойной логарифмической шкале, по оси абсцисс отложена величина дохода, тыс. долл. США, по оси ординат - число лиц, получающих доход не менее данного

По табл.1.1 видно, что вначале кривая Парето для данных по США не совсем соответствует статистическим данным, ибо фактическое число лиц, доход которых меньше 500 долл., значительно превосходит число, подсчитанное по уравнению кривой Парето. Для более крупных доходов кривая Парето уже значительно лучше согласуется с данным рядом распределения доходов.

Для данных по Англии параметры кривой Парето, также полученной методом наименьших квадратов, приблизительно таковы: , ; уравнение этой кривой в логарифмах имеет вид: .

В. Парето, исследуя данные, характеризующие доходы в разных странах и в разные периоды, установил, что величина параметра кривой распределения доходов колеблется в пределах от 1,2 до 1,9, следовательно, в среднем .

Значение параметра можно считать некоторой мерой неравенства в распределении доходов. Чем оно больше, тем больше вогнутость гиперболы и тем больше разрыв между доходами отдельных групп населения, эту зависимость видно на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 - Влияние параметра на форму кривой Парето. По оси абсцисс отложены размеры доходов населения США тыс. долл. США по данным таблицы 1.1, а по оси ординат - количество лиц, получающих доход не меньше данного, А = 1925,8*106

Рассмотрим подробнее свойства кривой Парето. Как указывалось выше, эта линия в двойной логарифмической шкале принимает вид прямой. Параметр показывает угол наклона этой прямой и эластичность функции распределения доходов:

. (1.4)

Таким образом, если принять для распределения доходов среди населения Украины, а нижний предел дохода 1000 грн., тогда при увеличении этого предела на 10%, т.е. до 1100 грн., число лиц, получающих такой доход или больше уменьшится на 15% относительно первоначально взятого предела в 1000 грн.

Рассмотрим, произведение ху, характеризующее общий доход числа лиц, получающих доход х и более. Логично предположить, что с ростом х эта величина будет убывать. Найдем производную этого выражения по х:

. (1.5)

С учетом вышесказанного можно сделать вывод о том, что для распределения доходов , иначе с ростом х величина общего дохода будет также возрастать, что невозможно.