Распределение Парето

Перейдем от выражения для кривой Парето (1.2) к распределению Парето случайной величины х (в вышерассмотренных примерах - это величина доходов) в терминах теории вероятностей и математической статистики.

Сначала перейдем к вероятностной интерпретации величины лиц, имеющих доход Х не ниже данного х, представленный (1.2), поделив это выражение на общее количество Y населения, получающего доход не ниже х.

. (1.7)

Учитывая, что по закону Парето, как было указано ранее, доходы (или другая случайная величина) начинают распределяться, начиная с некоторого значения х0, необходимо ввести эту переменную в (1.7), несмотря на то, что ранее мы от нее избавились для удобства. Это можно сделать проведя нормировку х на х0:

. (1.8)

Проведем замену:

тогда: . (1.9)

Но в теории вероятностей принято рассматривать не вероятность выраженную (1.9), а так называемую функцию распределения случайной величины, которая представляет собой дополнение (1.9) до единицы. Функция распределения F (x), определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше данного х, , для распределения Парето имеет вид:

. (1.10)

Соответствующая плотность вероятности р (х) находится как производная функции распределения и определяет вероятность того, что случайная величина примет значение равное х. Для распределения Парето плотность вероятности определяется выражением:

. (1.11)

Распределения, подобные распределению Парето в том плане, что они ограничены с одной стороны значениями, которые может принимать случайная величина, называются усеченными распределениями. Обычно они применяются в исследованиях, когда важна динамика поведения не всей совокупности исследуемых объектов, а лишь некоторой ее части или даже хвоста распределения, либо если часть совокупности распределена по одному закону, а часть - по другому.

Рассмотрим важную характеристику распределения Парето, определяющую области его применения в исследованиях. Для этого найдем математическое ожидание данного распределения:

. (1.12)

Таким образом, можно видеть, что математическое ожидание распределения Парето может быть конечно либо бесконечно в зависимости от параметра . Как уже было указано ранее, в экономических исследованиях распределения доходов выполняется условие , таким образом существует возможность найти математическое ожидание (средний уровень доходов, распределенных по закону Парето). Второй случай распределения Парето при представляет собой распределение с тяжелым хвостом (понятие рассматривается далее) и нашел применение в теории катастроф в качестве распределения, по которому определяется вероятность наступления редких, но значительных по масштабам, событий.

Рассмотрим еще одну интересную характеристику, которая определяет сумму накопленных значений х случайной величины, обозначим ее , (в рассмотренных ранее примерах это общее количество дохода всех лиц, попадающих в заданный интервал по доходу) между значениями х1 и х2. Эту величину можно определить следующим образом:

. (1.13)

При этом она будет тем точнее отображать реальность, чем больше будет расстояние между х1 и х2. Понятно, что при поведение этой функции будет зависеть от параметра таким же образом, как и выше найденное математическое ожидание.

При использовании данной функции для расчета, например, суммарного дохода лиц, которые получают доход от некоторого значения х1 до максимального дохода, получаемого в стране одним человеком, хmax, целесообразней принять в качестве х2 это значение хmax которое можно выразить так:

, (1.14)