Экономико-математические методы и модели

Задача 1. Построение сетевого графика и его оптимизация

На предприятии осуществляется реконструкция цеха. Известна средняя продолжительность выполнения отдельных работ (таблица 1.1) Среднеквадратическое отклонение продолжительности выполнения работ aп (n- номер работы) по всем работам комплекса равно одному дню.

Необходимо:

. Построить сетевой график выполнения работ по реконструкции цеха и определить значения его параметров (ранние и поздние сроки свершения событий, резервы времени по отдельным событиям).

Результаты расчетов значений указанных параметров указать непосредственно на сетевом графике.

2. Определить на сетевом графике критический путь. Критический путь выделить жирной линией и отдельно дать перечень работ, принадлежащих критическому пути, и его длительность.

3. Оптимизировать построенный сетевой график методом наименьших квадратов.

Таблица 1.1

Код работ	Продолжительность работ
1-2	12
2-3	5
3-8	2
1-4	10
4-6	3
4-7	8
6-7	2
7-8	6
1-5	3
5-8	10
2-4	0
5-6	0

Решение

. Определение ранних сроков наступления j-го события Трj сетевого графика

Трj=max{Tip+tij,i=1,k}

Где tij - средняя продолжительность работы ij;

k=число работ, непосредственно предшествующих j-му событию;

Tip-ранний срок наступления i-го события - это время, необходимое для выполнения всех работ, предшествующих данному событиюiю оно равно наибольшей из продолжительности путей, предшествующих данному событию.

T1p=02p=T1p+t12=0+12=123p=T2p+t23=12+5=174p=max{T1p+t14;T2p+t24}=max{0+10;12+0}=max{10;12}=125p=T1p+t15=0+3=36p=max{T4p+t46;T5p+t56}=max{12+3;3+0}=max{15;3}=157p=max{T4p+t47;T6p+t67}=max{12+8;15+2}=max{20;17}=208p=max{T3p+t38;T5p+t58;T7p=t78}=max{17+2;3+10;20+6}=max{19;13;26}=

26

. Расчёт поздних сроков свершения i-го события Tin

Tin=min{Tjn-tij,j=1,L}

Где Tjn -поздний срок наступления j-го события;

L-число работ, непосредственно следующих за i-м событием.

Поздний срок наступления события Tin - это такое время наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети. Поздний срок наступления любого события i равен разности между продолжительностью критического пути и наибольшей из продолжительностей пути, следующих за событием i.

T8n=267n=T8n-t78=26-6=206n=T7n-t67=20-2=185n=min{T6n-t56;T8n-t58}=min{18-0;26-10}=min{18;16}=164n-min{T6n-t46;T7n-t47}=min{18-3;20-8}=min{15;12}=123n=T8n-t38=26-2=242n=min{T3n-t23;T4n-t24}=min{24-5;12-0}=min{19;12}=121n=min{T2n-t12;T4n-t14;T5n-t15}=min{12-12;12-10;16-3}=min{0;2;13}=0

3. Определение резервов времени i-го события сетевого графика

Резерв времени наступления события Ri - это такой промежуток времени, на который может быть отсрочено наступление этого события без нарушения сроков завершения разработки в целом. Резерв времени i-го события сетевого графика определяется как разность между поздним и ранним сроками свершения события:

Ri=Tin-Tjp1=T1n-T1p=0-0=02=T2n-T2p=12-12=03=T3n-T3p=24-17=74=T4n-T4p-12-12=05=T5n-T5p=16-3=136=T6n-T6p=18-15=37-T7n-T7p=20-20=08=T8n-T8p=26-26=0

Определим критических путь сетевого графика @кр , т.е. полный путь, имеющий наибольшую продолжительность и характеризующийся тем, что все принадлежащие ему события не имеют резервов времени (они равны нулю). В данном случае критический путь проходит через события 1-2-4-7-8. Перечень работ, принадлежащих критическому пути, представлен в таблице 1.2.

Таблица 1.2

Коды работ	Продолжительность работы (дни)
1-2	12
2-4	0
4-7 .	8
7-8	6

. Определение полного резерва времени работ

Полный резерв времени работы показывает максимальное время, на которое может быть увеличена продолжительность работы или отсрочено ее начало, чтобы продолжительность проходящего через нее максимального пути не превысила продолжительности критического пути. Важнейшее свойство полного резерва работы заключается в том, что его частичное или полное использование уменьшает полный резерв у работ, лежащих с работой на одном пути. Таким образом, полный резерв принадлежит не одной данной работе, а всем работам, лежащим на путях, проходящим через эту работу.

Полный резерв времени работы определяется как разность между поздним сроком свершения события, завершающего работу, и ранним сроком свершения предшествующего работе события минус продолжительность самой работы.

rij=Tjn-Tip-tij

r12=T2n-T1p-t12=12-0-12=0

r23=T3n-T2p-t23=24-12-5=738=T8n-T3p-t38=26-17-2=714=T4n-T1p-t14=12-0-10=246=T6n-T4p-t46=18-12-3=347=T7n-T4p-t47=20-12-8=067=T7n-T6p-t67=20-15-2=378=T8n-T7p-t78=26-20-6=015=T5n-T1p-t15=16-0-3=1358=T8n-T5p-t58=26-3-10=1324=T4n-T2p-t24=12-12-0=056=T6n-T5p-t56=18-3-0-15

5.Определение среднего времени выполнения работ по реконструкции цеха

Рассчитаем численные значения временных параметров записываются на сетевом графике следующим образом:

Рисунок 1.1 - Отображение временных параметров событий в вершинах сетевого графика

Сетевой график выполнения работ по реконструкции цеха представлен на рисунке 1.2

Рисунок 1.2 - Сетевой график выполнения работ по реконструкции цеха

Для определения критического пути берутся все полные пути, проходящие через события с нулевым резервом времени. Затем подсчитывается их длительность и выбирается среди них путь, имеющий наибольшую продолжительность. Он и будет критическим. В рассматриваемом варианте через события с нулевым резервом времени проходят следующие полные пути:

-1-4-6-7-8

-4-7-8;

-2-4-6-7-8;

-2-4-7-8

Длительность пути определяется по формуле:

T=tij

В данном случае длительность

-го пути будет 10+3+2+6=21 (дней)

-го пути 10+8+6=24 (дней)

-го пути 12+0+3+2+6=23 (дней)

-го пути 12+0+8+6=26 (дней)

Ответ: Таким образом, критическим путём является путь 1-2-4-7-8 и его продолжительность составляет 26 дней.

Задача 2. Корреляционно-регрессионный анализ

Вычислить коэффициент корреляции между производительностью труда и рентабельностью предприятия. Определить уравнение связи между производительностью труда и рентабельностью предприятия. Проверить гипотезу о значимости отличия коэффициента корреляции от нуля. Считая связь между производительностью труда и рентабельностью линейной, построить уравнение связи между названными показателями, используя метод наименьших квадратов. Проверить гипотезу об отличии от нуля коэффициента регрессии. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

Таблица 2.1

Исходные данные

Уровень рентабельности (млн. руб.), y	Производительность труда (тыс. руб.), x
9,3	146
9,2	138
9,5	150
9,6	162
9,1	134
9,0	130
9,2	142
9,5	152
9,8	158
9,0	135

Решение

. Расчет коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции используется для проверки гипотезы о наличии связи между исследуемыми показателями. Для вычисления коэффициента корреляции используется формула:

rxy=

где - среднее значение произведения величин используемых показателей;

- среднее значение показателя, рассматриваемого в качестве независимой переменной;

- среднее значение показателя, рассматриваемого в качестве зависимой переменной;

-,. - среднеквадратическое отклонение величины X;

- среднеквадратическое; отклонение величины У;

n - число значений переменных.

ax = ay=x = ay=xy =

Отобранная для анализа группа данных называется выборной, а вся совокупность данных, из которых выделяется выборка, генеральной совокупностью. Поскольку значения коэффициента корреляции определяются по выборочным данным и, следовательно, будут различными при рассмотрении различных выборок из одной и той же генеральной совокупности, значение коэффициента корреляции следует рассматривать как случайную величину. Таким образом, может возникнуть ситуация, при которой величина коэффициента корреляции, рассчитанного но данным выборки, отлична от нуля, а истинный коэффициент корреляции равен нулю.

Для проверки значимости отличия коэффициента корреляции от нуля используется критерий Стьюдеита, определяемый по формуле:

T = (2.2)

где Sr - среднеквадратическая ошибка выборочного коэффициента корреляции.

Sr= t=9.44

Табличное значение критерия (при восьми степенях свободы и 95% доверительной вероятности) 1 = 2,306

Таким образом, 1г>1таб и, значит, коэффициент корреляции значимо отличен от нуля.

Все расчеты приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

	У	х - x	(х -х)2	у-y	(y-y)2	x*y	(x-х)*(у-у)
146	9.3	1,300	1,690	-0,02	0,000	1357,800	-0,026
138	9,2	-6,700	44,890	-0,12	0,014	1269,600	0,804
150	9,5	5,300	28.090	0,18	0,032	1425,000	0,954
162	9,6	17,300	299,290	0,28	0,078	1555,200	4,844
134	9.1 .	-10,700	114,490	-0,22	0,048	1219,400	2,354
130	9,0	-14.700	216.090	-0,32	0,102	1170,000	4,704
142	9,2	-2,700	7,290	-0,12	0,014	1306,400	0,324
- 152	9.5	7,300	53.290	0,18	0,032	1444,000	1,314
158	9,8	13,300	176.890	0,48	0,230	1548,400	6,384
135	9,0	-9,700	94,090	-0,32	0,102	1215,000	3,104
СУММА		0,000	1036,10	0,00	0,656	13510,80	24,760
		х = 144.7 y=9.32			x*y=1351,08

коэффициент корреляции	Среднекв. отклонение X	Среднекв. отклонение У	ошибка коэффициента корреляции Sr	t-критерий	табличное значение t-критерия
0,85	10,73	0.27	0,09	9,44	2,306

2. Расчет уравнения регрессии

Для расчета уравнения регрессии будем пользоваться методом наименьших квадратов, суть которого состоит в том, чтобы подобрать такое аналитическое выражение зависимости между исследуемыми показателями, для которого сумма квадратов отклонений значений зависимой переменной у, вычисленных по этому выражению от значений, определяемых по данным наблюдений, была бы минимальной, т.е.

(2.4)

где - значение переменной в i-ом наблюдении;

- значение переменной, определенное расчетом при i-ом значении переменной у;

n - число наблюдений.

При использовании метода наименьших квадратов видом управления связи задаются, исходя из экономических соображений.

Если предполагается, что связь линейная, т.е. Урасч=a0+a1x, то задача отыскания уравнения связи состоит в расчете таких значений коэффициентов а0 и а1 при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений у от фактических была бы минимальной.

a1= (2.5)

a0= (2.6)

Таким образом, уравнение связи между производительностью труда и рентабельностью предприятия имеет вид: у=5,847+0,024х

Используя это уравнение, можно найти расчетные значения у и построить график.

■" фактические - ■ - расчетные

Рисунок 2.1 - Фактические (Yфакт) и расчётные (Yрасч) значения y

Величина а1 называется коэффициентом регрессии. Так же как и коэффициент корреляции, коэффициент регрессии является случайной величиной, в связи с чем возникает необходимость проверки значимости его отличия от нуля. Эта проверка, так же как и в случае с коэффициентом корреляции, осуществляется с помощью i-критерия.

Таблица 2.3

X	У факт	Yрасч	У факт- Yрасч	(У факт- Yрасч)2
130	9,0	9.0	0	0
134	9,0	9,1	0.1	0.01
135	9,1		0	0
138	%2	9.2	0	0
142	9,2	9.3	0.1	0.01
146	9,3	9.4	0,1	0.01
150	9.5	9,4	-0,1	0.01
152	9.5	9,5	0	0
158	9,6	9,6	0	0
162	9.8	9,7	-0,1	0,01
				0,05

Проверим значимости коэффициента

Sa1=

Коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется зависимая переменная при изменении независимой переменной на единицу.

tai= 12.00

Для данного случая табличное значение t-критерия при восьми степенях свободы и 95% доверительности вероятности равно 2,306. Таким образом, tai>tтаб и, следовательно, коэффициент регрессии значимо отличен от нуля.

Рассчитываем коэффициент эластичности:

Э=a1* (2.8)

Коэффициент эластичности показывает, на сколько % увеличился Y при увеличении Х на 1%.

а1 =	а0=	Sа 1 =	Э=
0,024	5,847	0,002	0,373

Ответ: Таким образом, произведенный анализ показывает, что величина рентабельности предприятия весьма тесно связана с производительностью труда (коэффициент корреляции 0,85). Из полученного уравнения регрессии

у = 5,847+0,024 х

следует, что увеличение производительности труда на 1 тыс. руб. приводит к повышению рентабельности на 0,024 млн. руб. Изменение производительности труда на 1% приводит к увеличению рентабельности на 0,373%.

Для проведения корреляционно-регрессионного анализа в Ехсеl встроена специальная экономическая программа Пакет Анализа. Воспользуемся ее возможностями.

Результаты анализа представлены ниже

Таким образом, уравнение регрессии, связывающее уровень рентабельности с производительностью труда, имеет вид y=5,862+0,024х. Следует отметить, что данные, полученные при расчёте как вручную, так и для расчёта корреляционно-регресионных зависимостей простой и множественной регрессии.

Задача 3. Оптимизация ассортимента трикотажного производства

Трикотажная фабрика предлагает предложить потребителям полотна 150 и 90 артикулов. Требуется определить ассортимент указанных тканей, позволяющий фабрике получить максимальную прибыль на имеющемся оборудовании (машины Текстима и Кокетт). При этом следует определить какие артикулы трикотажного полотна и в каких объемах нужно выпускать на каждой из машин.

Артикулы полотна	величина прибыли в т.р. при выработке 1 т полотна на мащине		фактическая производительность в кг / час машины
	текстима	коккет	текстима	коккет
150	13,40